Трудные уравнения как пишется

Содержание
  1. Математика
  2. «В уравнение» или «в уравнении», как правильно?
  3. Когда пишется «в уравнение»?
  4. Правописание слова «в уравнении»
  5. Примеры
  6. Как решать сложные составные уравнения?
  7. Оставьте свой комментарий
  8. Подарочные сертификаты
  9. Сложные уравнения и их решение
  10. Более сложные примеры уравнений
  11. Почему самые сложные уравнения физики такие трудные?
  12. Краткосрочное планирование по математике во 2 классе на тему «Сложные уравнения и их решение»
  13. Линейные уравнения
  14. Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде (ax+b=0), где (a) и (b) – какие-либо числа
  15. При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство
  16. Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду
  17. 1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения
  18. 2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение
  19. 3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д
  20. Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.
  21. Ваша цель – привести уравнение к виду (x=[число]), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.
  22. Учим алгебра 7 класс. Как решать уравнения алгебра 7 класс, примеры, дроби, функции, степени, модули
  23. Как решать уравнения алгебра 7 класс
  24. Как решать систему уравнений алгебра 7 класс
  25. метод подстановки
  26. метод сложения
  27. графический метод
  28. Как решать дроби 7 класс
  29. Примеры 7 класс как решать
  30. Как решать задачи алгебра 7 класс
  31. Как решать функции алгебра 7 класс
  32. Алгебра модули как решать
  33. Решение сложных уравнений

Математика

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:

или, после сокращения,

Рассмотрим еще уравнение:

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Источник

«В уравнение» или «в уравнении», как правильно?

«В урав­не­нии» пра­виль­но пишет­ся с бук­вой «и» в окон­ча­нии пред­лож­но­го паде­жа. Слово «в урав­не­ние» име­ет окон­ча­ние «е» как фор­ма вини­тель­но­го паде­жа с предлогом.

Определим, как раз­ли­чать сло­ва «в урав­не­нии» или «в урав­не­ние» по их грам­ма­ти­че­ским при­зна­кам в контексте.

Слова «в урав­не­ние» и «в урав­не­нии» — это падеж­ные фор­мы суще­стви­тель­но­го сред­не­го рода «урав­не­ние». Они име­ют один и тот же пред­лог «в» и зву­чат оди­на­ко­во из-за без­удар­но­го окончания:

Чтобы пра­виль­но выбрать окон­ча­ние, обо­зна­чен­ное бук­вой «е» или «и», опре­де­лим падеж­ную фор­му суще­стви­тель­но­го в контексте.

Когда пишется «в уравнение»?

Когда пишет­ся «в урав­не­ние», выяс­ним, если зада­дим к нему падеж­ный вопрос в предложении:

Вам сле­ду­ет вста­вить в урав­не­ние неиз­вест­ные вели­чи­ны, обо­зна­чен­ные x и y.

Следует вста­вить (во что?) в урав­не­ние

Рассматриваемое сло­во име­ет фор­му вини­тель­но­го паде­жа един­ствен­но­го чис­ла. Как неоду­шев­лен­ное суще­стви­тель­ное, оно в вини­тель­ном паде­же име­ет такое же без­удар­ное окон­ча­ние, как и фор­ме име­ни­тель­но­го падежа:

Правописание слова «в уравнении»

Чтобы выяс­нить, поче­му «в урав­не­нии» пишет­ся окон­ча­ние «и», ука­жем, что пред­лог «в» может исполь­зо­вать­ся так­же в фор­ме пред­лож­но­го паде­жа существительных:

Как видим, в этой падеж­ной фор­ме суще­стви­тель­ные сред­не­го рода име­ют типич­ное окон­ча­ние -е, кро­ме слов, закан­чи­ва­ю­щих­ся бук­во­со­че­та­ни­ем -ие. Такие сло­ва скло­ня­ют­ся по-особому. В фор­ме пред­лож­но­го паде­жа с любым пред­ло­гом суще­стви­тель­ные с конеч­ным соче­та­ни­ем -ие име­ют без­удар­ное окон­ча­ние :

Обратим вни­ма­ние, что суще­стви­тель­ное сред­не­го рода «урав­не­ние» так­же закан­чи­ва­ет­ся бук­во­со­че­та­ни­ем -ие. Посмотрим, как оно изме­ня­ет­ся по паде­жам в един­ствен­ном числе:

Поупражняемся в опре­де­ле­нии падеж­ных форм сло­ва «урав­не­ние» и напи­са­нии окон­ча­ний или .

Примеры

В урав­не­ние с неиз­вест­ны­ми вели­чи­на­ми под­ставь­те их значения.

Запишите сим­во­лы вели­чин, вхо­дя­щих в уравнение.

При реше­нии учти­те, что в урав­не­нии не про­став­ле­ны все коэффициенты.

Ученый внес изме­не­ния в урав­не­ние, по-своему пони­мая физи­ку твер­до­го тела.

В урав­не­нии име­ет­ся ошиб­ка, кото­рую вам пред­сто­ит указать.

Источник

Как решать сложные составные уравнения?

Под сложными (составными) уравнениями мы понимаем уравнения, которые содержат два или более арифметических действия.

Решение таких уравнений выполняется по тем же правилам, которые мы рассмотрели на странице «Решение простых уравнений 5 класс» в этой же теме.

Читайте также:  Хорош котик как пишется

Но решение составных уравнений производится в определённой последовательности.

Расставляем порядок действий в уравнении.

Решаем как простое уравнение и находим «5y». Вспомним правило для нахождения неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Теперь перед нами простое уравнение. Необходимо найти неизвестный множитель. Решаем уравнение по следующему правилу.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Не забудем выполнить проверку.

Всё верно. Значит уравнение решено правильно.

Другой способ решения сложных уравнений

Некоторые сложные (составные уравнения) можно решать другим способом. Зная и умея применять свойства сложения и вычитания, а также свойства умножения и деления, уравнения решаются следующем образом.

Упрощаем выражение, стоящее в левой части уравнения, используя одно из свойств вычитания.

Чтобы из суммы отнять число, нужно это число вычесть из одного слагаемого и прибавить результат вычитания к другому слагаемому.

Далее решаем простое уравнение, пользуясь правилом нахождения неизвестного слагаемого.

Упрощение выражений в уравнениях

Запомните!

Если в уравнении встречается выражения, которые можно упростить, то вначале упрощаем выражения, и только после этого решаем уравнение.

Левую часть уравнения можно упростить. Сделаем это.

Теперь решим простое уравнение по правилу нахождения неизвестного множителя.

Завершив пример, выполним проверку.

Номер материала: ДБ-326081

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Вузы в Москве перейдут на удаленку из-за ситуации с COVID-19

Время чтения: 1 минута

Итальянский учитель дал детям задание на лето и прославился

Время чтения: 4 минуты

Правительство выделило дополнительные средства на кешбэк за детский отдых

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор: почти половина учителей не дотягивает до базового уровня подготовки

Время чтения: 2 минуты

Более 80% студентов при выборе работы на первое место ставят зарплату

Время чтения: 1 минута

Валерий Фальков ответит на вопросы о приемной кампании в российских вузах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Сложные уравнения и их решение

Расставляем порядок действий в уравнении.

Определяем неизвестное по последнему действию. Последнее действие в данном уравнении — это вычитание. Обращаем ваше внимание, что на этом этапе наше неизвестное — это «5y», и именно его мы рассматриваем как уменьшаемое.

Решаем как простое уравнение и находим «5y». Вспомним правило для нахождения неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Теперь перед нами простое уравнение. Необходимо найти неизвестный множитель. Решаем уравнение по следующему правилу.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Не забудем выполнить проверку.

Всё верно. Значит уравнение решено правильно.

Другой способ решения сложных уравнений

Некоторые сложные (составные уравнения) можно решать другим способом. Зная и умея применять свойства сложения и вычитания, а также свойства умножения и деления, уравнения решаются следующем образом.

Упрощаем выражение, стоящее в левой части уравнения, используя одно из свойств вычитания.

Чтобы из суммы отнять число, нужно это число вычесть из одного слагаемого и прибавить результат вычитания к другому слагаемому.

Левую часть уравнения можно упростить. Сделаем это.

Более сложные примеры уравнений

52. Более сложные примеры уравнений.Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x2 – 1)

Общий знаменатель есть x2 – 1, так как x2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x2 – 1. Получим:

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Почему самые сложные уравнения физики такие трудные?

В физике есть уравнения, описывающие всё, от растяжения пространства-времени до полёта фотона. Однако же лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его выбрали в роли одной из семи «Задач тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкостей.

Недавно я писал о том, как для этих уравнений был получен новый важный результат. И эта работа свидетельствует о том, что прогресс на пути к «премии тысячелетия» будет более тяжёлым, чем ожидалось.

Почему же эти уравнения, описывающие такие знакомые явления, как вода, текущая по шлангу, математически понять гораздо сложнее, чем, допустим, уравнения поля Эйнштейна, включающие в себя такие ошеломляющие объекты, как чёрные дыры?

Ответ, как я понял, кроется в турбулентности. Это явление испытывали мы все, в полёте в неоднородном воздухе на высоте в 10 000 м, или при наблюдении за воронкой от уходящей в слив воды в ванне. Однако из осведомлённости не следует познание: турбулентность — одна из наименее понятных областей физического мира. Пример потока без турбулентности — это спокойная река. Каждая её часть движется в одном и том же направлении с одной и той же скоростью. Турбулентная жидкость появляется, когда поток реки ломается так, что разные части потока начинают двигаться в разных направлениях с разными скоростями. Физики описывают формирование турбулентности сперва как появление воронки в гладком потоке, а затем как формирование мелких воронок в первой воронке, и ещё более мелких воронок в этих воронках — море воронок, уходящих внутрь жидкости, так, что жидкость разбивается на дискретные части, каждая из которых взаимодействует друг с другом и движется в своём собственном направлении. Исследователи хотят понять, как именно гладкий поток разбивается на турбулентные завихрения, и смоделировать будущую форму жидкости, после того, как турбулентность взяла своё. Но Задача тысячелетия формулируется более скромно: нужно лишь доказать, что решения всегда существуют. То есть, вопрос в том, могут ли уравнения описать любую жидкость, с любыми начальными условиями, и до бесконечно далёкого будущего? «Первый шаг — просто попытаться доказать, что у уравнений есть какие-то решения, — говорит Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета. — Это не даёт настоящего понимания поведения жидкостей, но если у вас и этого нет, то вы вообще ничего не знаете». Так как можно доказать существование решений? Начать нужно с того, чтобы понять, из-за чего их может не оказаться. Уравнения Навье-Стокса подразумевают подсчёт изменения таких величин, как скорость и давление. Математиков беспокоит следующий вариант развития событий: вы прогоняете эти уравнения, и через какое-то конечное время они сообщают вам, что частица жидкости движется с бесконечной скоростью. А это проблема — подсчитать изменение бесконечного значения не проще, чем поделить на ноль. Математики называют такие ситуации «взрывом», и в случае взрыва уравнения перестают работать и решений не находится. Уравнения Навье-Стокса описывают поток несжимаемой жидкости.

В целом произведение массы (голубая часть) на ускорение (фиолетовая) приравнивается к силам, действующим на жидкость (оранжевая):

Доказательство отсутствия взрывов (и существования решений) равносильно доказательству того, что максимальная скорость любой частицы жидкости остаётся ограниченной неким конечным значением. Одной из наиболее важных величин оказывается кинетическая энергия жидкости. Когда вы начинаете моделировать поток при помощи уравнений Навье-Стокса, у вашей жидкости есть некое начальное количество энергии. В турбулентных потоках энергия может начать концентрироваться. Вместо того, чтобы равномерно распространяться по всей реке, кинетическая энергия может собираться в водоворотах произвольно малого размера, и частицы в этих водоворотах (теоретически) могут разогнаться до бесконечной скорости. «При переходе на всё меньшие и меньшие масштабы, кинетическая энергия становится всё менее и менее полезной для контроля решения. Решение может делать, что угодно, и я не буду знать, как его контролировать», — говорит Влад Викол, математик из Принстонского университета, написавший новую работу вместе с Тристаном Бакмастером. Математики классифицируют частично дифференциальные уравнения на основании того, до какой степени они могут начать вести себя плохо на бесконечно малых масштабах. Уравнения Навье-Стокса находятся на экстремальном конце этой шкалы. Сложность математики уравнений в каком-то смысле отражает сложность турбулентных потоков, которые они должны уметь описывать. «Когда вы увеличиваете масштаб в каком-то месте, то с математической точки зрения вы теряете информацию о решении, — говорит Викол. — Но турбулентность должна описывать именно это — передачу кинетической энергии от крупных ко всё более мелким масштабам, поэтому она прямо-таки просит вас увеличивать масштаб». Говоря о математических свойствах физических уравнений, естественно задаться вопросом: а изменят ли эти рассуждения то, как мы расцениваем физический мир? В случае с уравнениями Навье-Стокса и Задачей тысячелетия ответ будет одновременно «да» и «нет». После почти 200 лет экспериментов ясно, что уравнения работают: течение, предсказанное Навье-Стоксом, последовательно совпадает с течением, наблюдаемым в экспериментах. Если вы — физик, работающий в лаборатории, вам этого может быть достаточно. Но математикам нужно знать больше — они хотят проверить, можно ли следовать этим уравнениям до упора, чтобы следить за тем, как именно меняется поток, от одного момента времени к другому (для любой начальной конфигурации жидкости), и даже уловить источник турбулентности.

Читайте также:  Увидел нечто странное как пишется

«Поведение жидкостей таит в себе сюрпризы, — говорит Фефферман. — Эти сюрпризы в принципе объясняются фундаментальными уравнениями, управляющие потоками жидкостей, но как перейти от уравнений, управляющих движением жидкости, к описанию того, как на самом деле движется жидкость — это загадка».

Краткосрочное планирование по математике во 2 классе на тему «Сложные уравнения и их решение»

(К,Г) Работа по новой теме.

Сравни уравнения в двух столбиках. Объясни, чем похожи и чемразличаютсяуравнениякаждогоизстолбиков.Объясни,как решить уравнения второгостолбика.

К конкурсу национальных блюд приготовили 12 блюд казахскойкухнии9русской.Иещё13блюдузбекскойнациональностей. Скольковсегоблюдприготовиликконкурсу?

Для приготовления плова для большого праздника купили 45 кг риса. В первый день израсходовали 29 кг, во второй 19 кг. Сколько килограммов рисаосталось?

Один повар приготовил 25 порций блинчиков, а другой – на 9порцийбольше.Скольковсегопорцийблинчиковприготовили?

(25 + 9) + 25 = 59 (блин.).

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде (ax+b=0), где (a) и (b) – какие-либо числа

Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.

Например: (2x+7=0) Здесь (a=2, b=7)
(5=0) А тут (a=0, b=5) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде (0cdot x+5=0))
(-7(5-3y)=91) Здесь (a) и (b) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.
(frac<3>)(+x=1-)(frac<3><4>)(x) Тоже самое, (a) и (b) пока что неизвестны.

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство

В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения (x+3=5) будет число (2), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст (5=5) – верное равенство.

Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ваша цель – привести уравнение к виду (x=[число]), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения (x+3=13-4x).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от (x=[число])? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

Хорошо. Теперь что мешает? (4x) справа, ведь там должны быть только числа. (4x) вычитается — убираем прибавлением.

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.

Пример. Решить уравнение (3x-1=2(x+3)+x)

(3x-1=2(x+3)+x) Раскроем скобки
(3x-1=2x+6+x) Приведем подобные слагаемые
(3x-1=3x+6) Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки
(3x-3x=6+1) Опять приведем подобные слагаемые
(0=7) Ну и при каком иксе ноль станет равен (7)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили (3x-1=3x+6). Вдумайтесь: как могут быть равны (3x) из которых вычли (1), и (3x) к которым прибавили (6)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Пример. Решить линейное уравнение (8(x+2)-4=12x-4(x-3))

(8(x+2)-4=12x-4(x-3)) Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки
(8x+16-4=12x-4x+12) Приводим подобные слагаемые
(8x+12=8x+12) Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева
(8x-8x=12-12) И вновь приводим подобные
(0=0) Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным.

Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: (8x+12=8x+12). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.

Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.

Пример. Найдите корень уравнения (2x^<2>-(x-4)^<2>=(3+x)^<2>-15)

Смотрите также: Линейная функция

Учим алгебра 7 класс. Как решать уравнения алгебра 7 класс, примеры, дроби, функции, степени, модули

В 7 классе ученикам предстоит научиться решать уравнения, дроби, строить функции, разбираться в модулях.

Для этого следует познакомиться с основными понятиями в темах, рассмотреть алгоритм решения и пошагово учиться находить ответы. Главное правило — начать с простых примеров, постепенно переходя на более сложные.

Большинство задач можно решать несколькими методами (это касается и примеров), следует выбрать самый простой и удобный для себя.

Как решать уравнения алгебра 7 класс

Начнем с решения линейных уравнений (на рисунке показано, по какому принципу они устроены). Чтобы найти ответ в таких уравнениях, нужно совершать действия: раскрытие скобок, поиск подобных слагаемых, умножение/деление частей на одно и тоже число, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Всё зависит от конкретного примера.

Рассмотрим несколько примеров пошагового решения линейных уравнений.

Пример 1.
6x + 24 = 0

Можно рассуждать проще: чтобы упростить уравнение, нужно из левой части отправить в правую число 24, поменяв его знак. Равенство сохранится (на рисунке ниже).

Пример 2.
9 + 16x = 41 + 14x

Это уравнение более сложное. Здесь важно запомнить несколько моментов:

Пример 3.
7(10 — 4x) + 5x = 12 — 3(5x + 2)

В рассмотренных уравнениях корень точно определён. Так получается не всегда.

Пример 4.

Обратите внимание, в ответе получилось 0x = 0. Это значит, что x может быть любым числом, потому что при умножение хоть какого числа на 0 получится 0.

В этом примере корней нет, так как любое число, которое умножают на 0, будет равно 0 (21 никак не получится).

Как решать систему уравнений алгебра 7 класс

Системой называют несколько уравнений, в которых нужно найти такие значения неизвестных, чтобы равенство сохранилось. Разберемся на примерах, как выглядят системы и какие методы их решения существуют.

метод подстановки

Из самого названия следует, что алгоритм требует что-то подставлять. Ниже представлена система, где нужно найти значения x и y.

Суть метода подстановки: переменную в одном из уравнений выражают через другую переменную. Затем подставляют полученное выражение в другое уравнение.

Смотрим на систему. Видим, что удобнее будет выразить x во втором уравнении (так как он один). Выражаем путем переноса за знак «равно» 12y. Получилось: x = 11 — 12y (не забываем менять знак при переносе числа).

В первое уравнение вместо «x» записываем получившееся выражение. Меняем только x, остальное сохраняется в прежнем виде.

Далее преобразуем уравнение, в которое поместили выражение. Раскрываем скобки (перемножаем 5 на каждое значение). y оставляем в левой части, числа переносим в правую, знаки меняем. Таким образом нашли значение y (y = 1).

Теперь подставляем полученную единицу во второе уравнение (x = 11 — 12y).

Убедиться в правильном решение можно так: подставьте полученные значения в систему. Если равенства сохранятся, значит, решено верно.

метод сложения

Чтобы решить систему методом сложения, нужно из двух уравнений сделать одно. Просто складываем первое и второе. Здесь «y» просто сократились, и получилось простое уравнение. Как только нашли значение «х», нужно подставить его в любой пример (здесь поставили во второе уравнение). В ответе пишется так: (4; 3) — первым всегда пишется х, затем у.

графический метод

На заметку! Старайтесь подбирать такие значения х, чтобы у был небольшим. Так отмечать будет проще.

Выбирайте самый удобный способ решения. Третий метод — графический, считают самым неточным.

Как решать дроби 7 класс

Дроби можно разделить на 2 основных вида:

Они различаются в способе написания (смотрите рисунок ниже). В свою очередь и те, и другие делятся еще на несколько видов.

Для начала рассмотрим решение примеров с десятичными дробями.

Особое внимание при решении стоит уделить запятым. При сложении и вычитании запятые стоят строго друг под другом, при умножении это не имеет значения.

Примеры решения обыкновенных дробей.

Если пример состоит из простой и десятичной дроби, то следует привести их к одному виду (к которому проще или удобнее считать).

Примеры 7 класс как решать

Теперь закрепим решение дробей на примерах.

Решение примера, представленного ниже:

Но можно было решить проще. Первое действие всегда в скобках. Поэтому от 5,25 отнимаем 2,15. Получится 3,1. Умножаем ее на 3 — вышло 9,3. И отнимаем: 10,4 — 9,3 = 1,1. Этот способ даже проще, потому что не нужно следить за знаками при раскрытии скобок.

Чтобы верно решить следующий пример, нужно:

Как решать задачи алгебра 7 класс

Задачи решаются путем составления уравнений.

Другие примеры задач с подробными решениями в видео-материалах.

Как решать функции алгебра 7 класс

Функцией принято считать зависимость y от x. При этом x является переменной (или аргументом), а у — это значение функции (зависимая переменная).

Чтобы найти значение у, которое бы соответствовало определенному значению х, нужно просто это значение х подставить в функцию.

Задание: определить, проходит ли указанный график функции через описанные точки.

Чтобы наглядно убедиться в правильности ответа, можно начертить график по полученным точкам.

Если требуется взять какое-либо число несколько раз, то проще записать его в степени. Например, нужно двойку взять три раза, т. е.: 2 * 2 * 2. Получается длинная запись. Поэтому придумали писать так: 2³ (читается: два в третьей степени).

Чтобы число возвести в степень (она указывается справа от числа вверху), нужно его умножать на самого себя столько раз, какая цифра указана. Рассмотрим подробнее на примерах.

Не всегда получается возвести число в степень «в уме». Иногда посчитать сложно. Например, возвести 6 в 5 степень, быстро получится не у каждого. Чтобы всякий раз не считать столбиком, лучше выучить основные степени. Они представлены в таблице.

При возведении любого числа в степень 1, получится это же число. Если возводить число в нулевую степень, в ответе будет 1.

Рассмотрим несколько примеров со степенями.

Отдельное внимание обращаем на возведение в степень отрицательного числа. Если такое число возводить в четную степень (2; 4; 6 и т.д.), то получится положительный ответ, если в нечетную, то ответ со знаком минус.

Алгебра модули как решать

Модулем числа называют это же число, только без знака минус. Например: |−9| = 9. При этом если число изначально неотрицательное, то оно остается прежним.

Перейдем к простым примерам.

Другие примеры описаны в видео.

Решение сложных уравнений

— Ребята, сегодня у нас важный и необычный урок. Нам предстоит открыть для себя новую тему в математике, совершенствовать свои вычислительные навыки, отрабатывать скорость счёта. Наш класс, как единая команда должна ее пройти по трем картам в максимально короткое время с высоким результатом.

3. Слово лидера класса.

Ребята, мы с вами команда-класс!

Должны мы собраться в ответственный час.По карте с успехом сегодня пройти.За время короткое, не подвести!Покажем высокий мы результатСредь лучших девчонок и лучших ребят.

4. Сообщение темы урока.

— Сформулируйте тему урока. (Решение сложных уравнений)

5. 1 цикл «Проба». Актуализация субъектного опыта учащихся.

Первое объяснение по схеме ОСУД.

Время объяснения В1 (В1 = х записать на доске)

Схемы должны быть на каждой парте. Учитель объясняет тему по каждому элементу ОСУДА! Левая рука указывает на нужный этап схемы, правая рука – с мелом на доске. Обязательно нужен диалог с классом.

Записать время окончания первого объяснения.

6. Организация восприятия. Выполнение заданий.

Дается три задания: НПС – ППС – ВПС

Учащиеся записывают слово «Проба», делают синхронно один хлопок и приступают к выполнению задания. (5+30)

Преподаватель двигается по классу и анализирует степень усвоения учебного материала после первого объяснения.

Важно: увидеть в какой части ОСУДа дети сделают ошибку.

7. Организация осмысления. Рефлексия.

По окончании работы звучит команда «Ручка в руках – это ошибка». Учащиеся обмениваются тетрадями. Поэтапная проверка выполнения заданий. На каждом уровне отдельно определяется качество исполнения.

Если класс вышел на норму 63% по ВПС и выполнил норму, то смотрите рис. 3.

1. Скорость – замедленные учащиеся отражают уровень навыков и умений в классе.

2. Внимание – невнимательные дети – отражает уровень организации класса.

3. Счет – ошибки в счете отражает уровень базовых знаний.

4. Тема – происходит поиск ошибок и выписываются по порядку «хвосты» по предыдущим темам.

Важно: Анализ всех проблем на этапе проба является основой плана следующего объяснения.

8. 2 цикл «Закрепление». Актуализация субъектного опыта учащихся.

Записать время окончания второго объяснения.

9. Организация восприятия. Выполнение заданий.

Задания подбираются по таблице 2, «Если — то». Учащиеся записывают слово «Закрепление», делают синхронно два хлопка и приступают к работе. (5+30)

Преподаватель двигается по классу, анализирует степень усвоения учебного материала после первого объяснения, ищет свои ошибки в объяснении и ошибки детей в усвоении.

10. Организация осмысления. Рефлексия.

По окончании работы звучит команда «Ручка в руках – это ошибка». Учащиеся обмениваются тетрадями. Поэтапная проверка выполнения заданий. На каждом уровне отдельно определяется качество исполнения.

Если класс вышел на норму 63% по ВПС и выполнил норму, то смотрите рис. 3.

1. Скорость – замедленные учащиеся отражают уровень навыков и умений в классе.

2. Внимание – невнимательные дети – отражает уровень организации класса.

3. Счет – ошибки в счете отражает уровень базовых знаний.

4. Тема – происходит поиск ошибок и выписываются по порядку «хвосты» по предыдущим темам.

12. 3 цикл «Память». Актуализация субъектного опыта учащихся.

Записать время окончания третьего объяснения.

13. Организация восприятия. Выполнение заданий.

Задания подбираются по таблице 2, «Если — то». Учащиеся записывают слово «Память», делают синхронно три хлопка и приступают к работе. (5+30)

Преподаватель двигается по классу и анализирует основные показатели, которые были выявлены на предыдущих этапах.

14. Организация осмысления.

По окончании работы звучит команда «Ручка в руках – это ошибка». Учащиеся обмениваются тетрадями. Поэтапная проверка выполнения заданий. На каждом уровне отдельно определяется качество исполнения.

1. Скорость – замедленные учащиеся отражают уровень навыков и умений в классе.

2. Внимание – невнимательные дети – отражает уровень организации класса.

3. Счет – ошибки в счете отражает уровень базовых знаний.

4. Тема – происходит поиск ошибок и выписываются по порядку «хвосты» по предыдущим темам.

Дополнение 1. Если на любом этапе получена норма 63% по ВПС, то проводится контрольный срез по двум вариантам.

Определение тех, кто решил на «5», «4», «3» и кто не справился.

16. Подведение итогов.

— Что делалина уроке?- Чему научились?- Какие ошибки были допущены? Почему?- Чему ещё хотели бы научиться?

Источник

Поделиться с друзьями
Познавательное и интересное